卡方分佈

维库，知识与思想的自由文库

跳转到: 导航, 搜索

1个分类: 连续概率分布

卡方分布的机率密度函数

卡方分布的累积分布函数

卡方分布是统计学中的一种机率分布，它广泛的运用于检测数学模型是否适合所得的数据。

[编辑] 数学定义

对于任意正整数 k, 自由度为 k 的卡方分布是一个随机变量X的机率分布

$X=Z_1^2 + \cdots + Z_k^2$

在这个式子中，Z₁, ..., Z_k 是相互独立的常态变量，且每一个变量的数学平均值都为0，方差为1。也就是说X是标准常态变量的平方和。这种分布一般被记做

$X\sim\chi^2_k$

[编辑] 特征

卡方分布的机率密度函数为：

$f_k(x)= \frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)} x^{k/2 - 1} e^{-x/2}$

其中x≥0, 当x≤0时 $f k (x) = 0$ 。这里Γ代表Gamma函数。

卡方分布的累积分布函数为：

$F_k(x)=\frac{\gamma(k/2,x/2)}{\Gamma(k/2)}\,$

其中γ(k,z)为不完全Gamma函数

在大多数涉及卡方分布的书中都会提供它的累积分布函数的对照表。此外许多表格计算软件如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分布函数。

卡方分布可以用来测试随机变量之间是否相互独立，也可用来检测统计模型是否符合实际要求。

自由度为 k 的卡方变量的平均值是 k，方差是 2k。卡方分布是伽玛分布的一个特例，它的熵为：

$H = \int_{-\infty}^\infty f(x)\ln(f(x)) dx = \frac{k}{2} + \ln \left( 2 \Gamma \left( \frac{k}{2} \right) \right) + \left(1 - \frac{k}{2}\right) \psi(k/2)$

其中 $ψ(x)$ 是 Digamma function。

卡方變數與Gamma變數的關係當Gamma變數頻率（λ）為 1/2 時，α 的2倍為卡方變數之自由度（Degree of freedom）即:

$r.v. Y = \chi^2 \left(U\right) = \Gamma \left( \frac{U}{2} , \frac{1}{2}\right)$

$E \left( \chi^2 \left(U\right) \right) = E \left( Y \right) = \frac{\alpha}{\lambda} = \frac{\frac{U}{2}}{\frac{1}{2}} = U$

$Var \left( \chi^2 \left(U\right) \right) = Var \left( Y \right) = \frac{\alpha}{\lambda^2} = \frac{\frac{U}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)^2} = 2U$

卡方變數之期望值＝自由度卡方變數之變異數＝兩倍自由度

[编辑] 外部链接

分布计算器（英文）

	单随机变量	多随机变量
	概率分布 [ 檢視 • 討論 • 編輯 • 歷史 ]
离散概率分布	伯努利分布 • 二項分佈 • 玻耳兹曼分布 • 复合泊松分布 • 退化分布 • Gauss-Kuzmin分布 • 幾何分佈 • 超几何分布 • 对数分布 • 负二项分布 • 抛物线分形分布 • 泊松分布 • Rademacher分布 • Skellam分布 • 離散型均勻分佈 • Yule-Simon分布 • ζ分布 • 齐夫分布 • 齐夫-曼德尔布罗特定律	Ewens抽样公式 • 多项分布
连续概率分布	β分布 • Beta prime • 柯西分布 • 卡方分佈 • 狄拉克δ函数 • Erlang • 指数分布 • 广义误差分布 • F-分布 • fading • Fisher's z • Fisher-Tippett • Gamma • generalized extreme value • generalized hyperbolic • 广义逆高斯分布 • Half-Logistic • Hotelling's T-square • hyperbolic secant • 超指数分布 • hypoexponential • inverse chi-square • 逆高斯分布 • inverse gamma • Kumaraswamy • Landau • 拉普拉斯分布 • Lévy • 稳定分布 • logistic • 对数正态分布 • 麦克斯韦-玻尔兹曼分布 • Maxwell speed • 正态分布 • Pareto • Pearson • polar • raised cosine • Rayleigh • relativistic Breit-Wigner • 萊斯分配 • 學生t-分佈 • 三角形分布 • type-1 Gumbel • type-2 Gumbel • 連續型均勻分布 • Voigt • von Mises • 韋氏分配 • Wigner semicircle	Dirichlet • Kent • 矩陣常態分配 • 多變量常態分配 • von Mises-Fisher • Wigner quasi • Wishart
其它分布	Cantor • 条件概率 • exponential family • infinitely divisible • location-scale family • marginal • maximum entropy • phase-type • posterior • prior • quasi • 抽樣分配 • singular