怀特海问题

怀特海问题，是群论的一个重要问题，由美国数学家约翰·怀特海在1950年代提出。

给定环Λ上的模 A,B,R,投射模P 以及正合列其中第一个箭头由单同态μ实现, 记

EXT_Λ(A,B) = Hom(R,B) / Im(μ ^* ),

这里μ ^* 是由 μ自然导出的从Hom(P,B)到Hom(R,B)的同态. 如果Λ是整数环, 则我们省去下标.注意任何一个阿贝尔群都可以看成一个整数模.

可以证明一个模A是投射模当且仅当对于所有的模B,EXT_Λ(A,B) = 0.

每一个自由模都是投射模. 同调代数中一个经典定理说如果Λ是主理想整环, 那么每一Λ自由模的子模也是自由的. 特别地, 整数环上的所有自由模的子模都是自由的. 因为每一个投射模都是自由模的子模, 所以上的投射模和自由模是一致的.

怀特海问题是同调代数中一个基本问题, 其表述如下:

给定阿贝尔群 A, 当且仅当 A 是自由的.

因此怀特海问题可以看作上自由模的一个判别法则.

在ZFC下可以证明如果A是可数的阿贝尔群,那么怀特海问题是正确的. Shelah于1974年证明了如果 V = L (即可构成公理成立), 那么对每一个基数为的阿贝尔群, 怀特海问题是对的. 同时,如果马丁公理成立并且连续统假设不成立,那么存在一个基数为的阿贝尔群使得怀特海问题是错的. 最终地, Shelah于1975年证明了如果V = L, 那么怀特海问题对于所有阿贝尔群成立.