有理数

数学上，有理数是一个整数 a 和一個非零整數 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又稱作分數。希臘文稱為 λογος ，原意為「成比例的數」(rational number)，但中文翻譯不恰當，逐漸變成「有道理的數」。不是有理數的實數遂稱為無理數。

所有有理数的集合表示为 Q，或 。定义如下：

有理数的小数部分有限或为循环。

[编辑] 算法

有理数的加法和乘法如下:

两个有理数 和 相等 当且仅当 ad = bc

有理数中存在加法和乘法的逆。

[编辑] 形式构建

数学上可以将有理数定义为整数的有序对 的等价类，这里 b 不为零。我们可以对这些有序对定义加法和乘法，规则如下：

为了使 2 / 4 = 1 / 2，定义等价关系 ˜ 如下：

这种等价关系与上述定义的加法和乘法上是一致的，而且可以将 Q 定义为 ~ 的商集。例如：两个对 (a, b) 和 (c, d) 是相同的，如果它们满足上述等式。（这种构建可用于任何整数环，参见商域。）

Q 上的全序关系可以定义为

[编辑] 性质

集合 ，以及上述的加法和乘法运算，构成域，即整数 的商域。

有理数是包含特征 0 的最小的域：所有其他包含特征 0 的域都包含 的一个复制。

的代数闭包，例如有理数多项式的根的域, 是代数数。

所有有理数的集合是可数的。因为所有实数的集合是不可数的，从勒贝格测度来看，可以认为绝大多数实数不是有理数。

有理数是个稠密排列的集合：任何两个有理数之间存在另一个有理数，事实上是存在无穷多个。

[编辑] 实数

有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，有理数是用连分数的有限表示方式的唯一的数。

依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量 ，有理数构成一个度量空间，这是 上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也完全不连贯（totally disconnected）。有理数不构成完备的度量空间；实数是 的完备集。

[编辑] p进数

除了上述的绝对值度量，还有其他的度量将 转化到拓扑域：

设 p 是 素数，对任何非零整数 a 设 | a | _p = p ^{− n}，这里 pⁿ 是 p 的最高次幂除 a；

另外 | 0 | _p = 0。对任何有理数 ，设 。

则 在 上定义了一个度量。

度量空间 不完备，它的完备集是p进数域 。